Calculer avec des fractions, méthode par méthode
Une fraction représente une division : le numérateur (en haut) est divisé par le dénominateur (en bas). Ainsi 3 ⁄ 4 signifie « trois quarts », soit 0,75. Manipuler des fractions, c'est savoir les mettre au même dénominateur, les multiplier, puis réduire le résultat. Cet outil enchaîne ces étapes pour vous et affiche le détail.
Addition et soustraction : le dénominateur commun
On ne peut additionner deux fractions que si elles ont le même dénominateur. La méthode universelle consiste à multiplier en croix : a ⁄ b + c ⁄ d = (a × d + c × b) ⁄ (b × d). Le dénominateur commun retenu ici est le produit b × d, simple et toujours valable (il n'est pas forcément le plus petit, mais la simplification finale corrige cela).
Exemple : 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3. On pose (1 × 3 + 1 × 2) ⁄ (2 × 3) = (3 + 2) ⁄ 6 = 5 ⁄ 6. Pour une soustraction, on remplace simplement le « + » par un « − » au numérateur : 1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 3 = (3 − 2) ⁄ 6 = 1 ⁄ 6.
Multiplication et division : plus direct
La multiplication est la plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a ⁄ b × c ⁄ d = (a × c) ⁄ (b × d). Par exemple 2 ⁄ 3 × 3 ⁄ 4 = 6 ⁄ 12, qui se réduit en 1 ⁄ 2.
Pour diviser, on multiplie par la fraction inversée (on échange numérateur et dénominateur du diviseur) : a ⁄ b ÷ c ⁄ d = a ⁄ b × d ⁄ c = (a × d) ⁄ (b × c). Ainsi 1 ⁄ 2 ÷ 3 ⁄ 4 = 1 ⁄ 2 × 4 ⁄ 3 = 4 ⁄ 6 = 2 ⁄ 3. La division n'est possible que si la seconde fraction n'est pas nulle (son numérateur doit être différent de 0).
Simplifier avec le PGCD (algorithme d'Euclide)
Une fraction est réduite (ou irréductible) quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Pour y arriver, on divise les deux par leur PGCD, le plus grand commun diviseur. L'algorithme d'Euclide le trouve très vite : on remplace le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, et on recommence jusqu'à obtenir un reste nul.
Exemple sur 8 et 12 : 12 = 1 × 8 + 4, puis 8 = 2 × 4 + 0. Le dernier reste non nul est 4 : c'est le PGCD. Donc 8 ⁄ 12 = (8 ÷ 4) ⁄ (12 ÷ 4) = 2 ⁄ 3. Par convention, le signe « moins » est toujours placé au numérateur, et un dénominateur de 1 donne un nombre entier (par exemple 6 ⁄ 2 = 3).
Erreurs fréquentes à éviter
- Additionner les dénominateurs. 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 ne fait pas 2 ⁄ 5 : il faut passer par un dénominateur commun avant d'additionner les numérateurs.
- Oublier d'inverser pour la division. Diviser par c ⁄ d, c'est multiplier par d ⁄ c, et non par c ⁄ d.
- Laisser une fraction non réduite. 6 ⁄ 12 est juste, mais 1 ⁄ 2 est la forme attendue : pensez toujours à simplifier par le PGCD.
- Mettre un dénominateur nul. Diviser par zéro n'a pas de sens : un dénominateur doit toujours être différent de 0.
Les fractions sont à la base de nombreux calculs du quotidien : retrouvez-les dans le calcul de pourcentage (un pourcentage est une fraction sur 100), dans la règle de trois qui résout une proportion par produit en croix, ou dans le calcul de la TVA. Découvrez tous nos outils dans le catalogue Mes Calculs.